Amaury Leveaux est un des nageurs les plus rapides de la natation française détenteur de plusieurs records du monde sur 50 et 100 m nage libre. S’il s’impose sur le plan national dès 2004, il doit attendre les Jeux de Pékin 2008 pour remporter ses premiers trophées internationaux. La France a terminé deuxième de la finale et Leveaux a ainsi remporté une médaille d’argent.

Quelques jours plus tard, Leveaux a établi un record olympique au 50 m nage libre mais en finale de cette épreuve, il a terminé derrière le Brésilien César Cielo Filho pour remporter une nouvelle médaille d’argent.

Aux Jeux olympiques de Londres 2012, il était le nageur principal du relais 4 × 100 m nage libre, remportant l’or avec ses coéquipiers Fabien Gilot, Clement Lefert et Yannick Agnel et du relais 4 × 200 m nage libre, qui a remporté l’argent.

En décembre 2013, à 28 ans, il a annoncé sa retraite de la natation de compétition. Cependant, en septembre 2018, il a annoncé son retour à la natation de compétition, visant une médaille aux Jeux Olympiques de Tokyo 2020 sur 50 m nage libre. Finalement, il n’a pas participé aux Jeux préférant se consacrer au lancement d’une plateforme de sponsoring pour sportifs de haut niveau.