Bien moins célèbre que son compatriote Clas Thunberg, quintuple champion olympique, ce sapeur-pompier de profession a fait ses débuts internationaux aux Championnats du monde toutes distances en 1914. Toutefois, sa carrière internationale a été interrompue par la Première Guerre mondiale. Il a continué à concourir à l’échelle nationale.

Lorsque les compétitions internationales ont repris en 1922, Skutnabb était âgé de 32 ans. Il s’est toutefois qualifié pour les Jeux d’hiver de Chamonix 1924, où il remporte la première médaille d’argent au 5000 m derrière Thunberg.

Le lendemain, il est devenu champion olympique au 10.000 m, tandis que Thunberg remportait la médaille d’argent. Ces performances, combinées avec celles du 500 m et du 1500 m lors de ces Jeux olympiques, lui ont valu une troisième place dans la compétition toutes distances.

Enfin, Skutnabb a participé aux Jeux olympiques d’hiver de Saint-Moritz 1928 et a remporté sa deuxième médaille d’argent olympique au 5000 m derrière Ivar Ballangrud à presque 39 ans.